Deret Aritmatika dan Geometri, Kuasai Rumus Lewat Contoh Soalnya

Liputan6.com, Jakarta - Pernahkah kamu memperhatikan susunan kursi dalam gedung bioskop atau stadion olahraga? Jika diperhatikan seksama, jumlah kursi pada baris depan biasanya lebih sedikit dibandingkan di belakang. Penambahan ini punya pola yang tetap dan teratur. Dalam matematika, pola penambahan konstan ini disebut konsep nyata deret aritmatika dasar. 

Merujuk pada buku Matematika Dasar Aljabar Umum Oleh Djoko Adi Susilo (2021: hlm.113), sebuah barisan dan deret ialah susunan bilangan-bilangan yang dibentuk berdasarkan syarat-syarat tertentu. Deret aritmatika merupakan jumlah seluruh suku-suku yang berada di barisan aritmatika.

Memahami pola perbedaan antara deret aritmatika dan geometri jadi pondasi penting dalam matematika. Aritmatika berbicara tentang kesetaraan selisih linier, cocok untuk menghitung tabungan atau tumpukan benda. Sementara geometri mengajarkan tentang pertumbuhan eksponensial melalui rasio perkalian. 

Berikut pembahasan deret aritmatika dan geometri lengkap dengan rumus dan contoh soalnya. Memahami pengertian deret aritmatika dan geometri juga sangat penting untuk mendalami cara berhitung dalam konsep ini. 

Deret aritmatika disebut sebagai barisan yang nilai seluruh sukunya didapat dari penjumlahan atau pengurangan suku sebelumnya dengan suatu bilangan yang tetap. Bilangan tetap inilah yang menjadi kunci pembeda.  Sebagai ilustrasi sederhana, misalkan Anda memiliki barisan bilangan: 2, 5, 8, 11, … 

Suku pertama (U1 atau a) adalah 2.

Suku kedua (U2) adalah 5.

Selisih antara 5 dan 2 adalah 3.

Selisih antara 8 dan 5 juga 3.

Akibat dari selisih yang selalu sama, yaitu 3, maka ini disebut barisan aritmatika. Nilai selisih ini disebut dengan beda yang disimbolkan dengan huruf b. Jika Anda menjumlahkan 2 + 5 + 8 + 11, maka hasil penjumlahan itulah yang disebut deret.

Unsur penting 

Beberapa simbol yang wajib dihafal saat mempelajari Deret Aritmatika adalah: 

a atau U1: Suku pertama dalam barisan.

b: Beda atau selisih antar suku yang berdekatan.

Un: Suku ke-n (misalnya suku ke-10, ke-100).

Sn: Jumlah n suku pertama (Deret).

n: Banyaknya suku.

Rumus Deret Aritmatika  

Usai membahas konsep dasarnya, deret aritmatika memiliki rumus utama untuk mencari jumlah n suku pertama Sn yaitu: 

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

Atau jika suku terakhir (Un) sudah diketahui, Anda bisa menggunakan rumus yang lebih ringkas:

Sn = n/2 (a+ Un)

Keterangan:

Sn = Jumlah n suku pertaman = Banyak sukua = Suku pertamab = Beda / selisihUn = Suku ke-n

Rumus ini sangat bermanfaat di berbagai lini kehidupan. Seperti kontraktor bangunan yang harus menghitung batu bata untuk membuat tangga,. Jika anak tangga pertama butuh 20 bata, anak tangga kedua 25 bata, dan seterusnya, ia bisa menghitung total kebutuhan bata hanya dalam hitungan detik pakai rumus ini tanpa perlu menumpuk bata terlebih dulu. 

Deret geometri adalah bagian dari matematika yang membahas titik, garis, bidang, dan ruang. Merujuk Counselia; Jurnal Bimbingan Konseling Pendidikan Islam Vol. 5 No. 2, 2024, geometri secara umum merupakan ilmu matematika yang mempelajari garis, ruang, dan volume yang bersifat abstrak. 

Namun, ketika kita berbicara tentang Deret Geometri, konteksnya sedikit bergeser dari "bentuk ruang" menjadi "pola bilangan".

Jika deret aritmatika menggunakan penjumlahan atau pengurangan, maka deret geometri bermain di ranah perkalian dan pembagian. Deret geometri adalah barisan yang tersusun dengan aturan di mana suku-sukunya merupakan hasil kali dari suku sebelumnya dengan pengali yang tetap. Pengali ini disebut dengan rasio (r). 

Contoh barisan geometri: 3, 6, 12, 24, ...

3 ke 6 dikali 2.6 ke 12 dikali 2. Maka rasionya (r) adalah 2.

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri (Sn) adalah:

Jika r > 1: 

Sn = {a(r^n - 1)} /{r - 1}

Jika r < 1: 

Sn ={a(1 - r^n)}/ {1 - r}

Contoh Soal Deret Aritmatika

Seorang petani mencatat hasil panen jeruknya setiap hari. Pada hari pertama ia memanen 15 kg, hari kedua 20 kg, hari ketiga 25 kg, dan seterusnya dengan kenaikan tetap. Berapa jumlah total jeruk yang dipanen selama 12 hari pertama?

Pembahasan : Diketahui: a = 15 b = 5 (karena 20 - 15 = 5)n = 12. Ditanya: S{12}?

Jawab:

S12 =  12/2 (2(15) + (12-1)5)

S12 = 6 (30 + (11)5)

S12 = 6 (30 + 55)

S12 = 6 (85)

S12 = 510

Akhirnya, total panen jeruk selama 12 hari adalah 510 kg.

Contoh Soal Deret Geometri

Selembar kertas dipotong menjadi 2 bagian. Setiap bagian kemudian dipotong lagi menjadi 2, dan seterusnya. Berapa jumlah potongan kertas pada pemotongan ke-5? Pembahasan: Ini adalah kasus barisan geometri karena jumlah kertas berlipat ganda (dikali 2). Diketahui: a = 1 (kertas awal belum dipotong, tapi urutan ke-1 setelah potong jadi 2 bagian. Hati-hati di sini. Biasanya barisannya adalah: 2, 4, 8… ) Potongan ke-1: 2 lembar. Potongan ke-2: 4 lembar Maka a = 2, r = 2.

Ditanya: Suku ke-5 (U5)? (Pertanyaan ini menanyakan jumlah pada saat itu, bukan total kumulatif riwayat, jadi kita pakai rumus Un = ar^{n-1}).

U5 = 2 x 2^{(5-1)}

U5 = 2 x 2^4

U5 = 2 x 6 = 32

Jawaban: ada pemotongan ke-5, terdapat 32 potong kertas.

Banyak siswa yang kerap tertukar mengenali kedua jenis deret ini. Untuk memudahkan membedakannya, berikut ada beberapa poin yang harus diperhatikan.

1. Pola perubahan

Ini adalah perbedaan paling mendasar penjelasannya sebagai berikut: 

Aritmatika: Aritmatika menggunakan beda (b). Perubahan antar suku terjadi karena penjumlahan atau pengurangan. (Contoh: 2, 4, 6, 8... bedanya adalah +2).

Geometri: Memakai rasio (r). Perubahan antar suku kerap terjadi perkalian atau pembagian. (Contohnya: 2, 4, 8, 16... rasionya adalah x2).

2. Pertumbuhan Nilai 

Aritmatika: Pertumbuhan nilainya cenderung linier atau stabil (seperti garis lurus miring ke atas).

Geometri: Pertumbuhan nilainya bersifat eksponensial (melengkung tajam ke atas). Oleh karena itu, inilah istilah pertumbuhan deret ukur sering digunakan menggambarkan sesuatu yang meledak jumlahnya. Sering dipakai meneliti perkembangan bakteri atau virus. 

3. Rumus yang digunakan

Seperti yang telah dibahas sebelumnya, rumus kedua deret ini berbeda total. Aritmatika fokusnya pada penambahan n-1 kali beda. Sedangkan geometri fokus pada pemangkatan r^n.

Q: Apa ciri utama deret aritmatika?

A: Ciri utamanya adalah setiap suku bertambah atau berkurang dengan selisih yang sama.

Q: Contoh sederhana deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari?

A: Misalnya menabung uang dengan jumlah kenaikan tetap setiap minggu.

Q: Apa ciri khas deret geometri?

A: Setiap suku berubah dengan cara dikali atau dibagi oleh angka yang sama.

Q: Contoh deret geometri di sekitar kita?

A: Pertumbuhan bakteri yang jumlahnya berlipat ganda setiap jam.

Q: Mengapa deret aritmatika penting dipelajari?

A: Karena membantu memahami pola penambahan yang konsisten dalam matematika maupun perhitungan finansial.

Q: Untuk apa mempelajari deret geometri?

A: Berguna untuk memahami pola pertumbuhan, penggandaan, atau penyusutan yang terjadi secara berulang.

Q: Apa perbedaan mudah antara deret aritmatika dan geometri?

A: Aritmatika berubah dengan penambahan, sedangkan geometri berubah dengan penggandaan.

Q: Apakah kedua deret ini dipakai dalam dunia nyata?

A: Ya, keduanya digunakan dalam ekonomi, sains, statistik, hingga teknologi.

Q: Deret mana yang lebih cepat bertambah besar?

A: Umumnya deret geometri lebih cepat bertumbuh karena sifatnya yang berlipat.

Q: Mana yang lebih mudah dipahami pemula?

A: Deret aritmatika, karena konsepnya hanya pertambahan atau pengurangan tetap.